Linki:
Évariste Galois,
Łączność (matematyka),
Aksjomat,
Arthur Cayley,
Arytmetyka modularna,
Carl Friedrich Gauss,
Centralizator i normalizator,
Ciało (matematyka),
Dodawanie,
Działanie dwuargumentowe,
Działanie grupy na zbiorze,
Element neutralny,
Element odwracalny,
Element odwrotny,
Felix Klein,
Geometria euklidesowa,
Grupa addytywna,
Grupa cykliczna,
Grupa ilorazowa,
Grupa multiplikatywna,
Grupa multyplikatywna,
Grupa nieskończona,
Grupa permutacji,
Grupa przekształceń,
Grupa przemienna,
Grupa skończona,
Grupa topologiczna,
Grupa wolna,
Grupoid,
Homomorfizm grup,
Iloczyny grup,
International Standard Serial Number,
Inwolucja (matematyka),
Izometria,
Izomorfizm,
Język rosyjski,
Joseph Louis Lagrange,
Komutant,
Liczby całkowite,
Liczby naturalne,
Liczby rzeczywiste,
Liczby wymierne,
Liczby względnie pierwsze,
Liczby zespolone,
Matematyka,
Mnożenie,
Moc zbioru,
Monoid,
Niels Abel,
Operacja n-arna,
Półgrupa,
P-grupa,
Paolo Ruffini,
Pierścień (matematyka),
Pierwiastnik,
Podgrupa,
Podgrupa charakterystyczna,
Podgrupa normalna,
Quasi-grupa,
Reprezentacja grupy,
Rząd (teoria grup),
Struktura matematyczna,
Teoria grup,
Twierdzenie Cauchy'ego (teoria grup),
Twierdzenie Cayleya,
Twierdzenie Lagrange'a (teoria grup),
Twierdzenie Sylowa,
Wektor,
Witold Więsław,
Złożenie funkcji,
Zbiór,
Zbiór generatorów grupy,
Zbiór pusty,
Zbiór skończony,
Grupa – jedna z prostszych
struktur algebraicznych:
niepusty zbiór, na którym określono pewne
łączne i
odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy
monoid, w którym każdy element ma
element odwrotny. Dział
matematyki badający własności grup nazywa się
teorią grup.
W teorii
półgrup ideałem nazywamy taki podzbiór półgrupy, że jeśli pomnożymy jego dowolny element przez dowolny element półgrupy, to wynik pozostanie w tym podzbiorze. Jeżeli zażądamy, by było to prawdą niezależnie od kolejności tych czynników, otrzymamy ideał obustronny, który dla prostoty nazywa się po prostu ideałem. Jeżeli żądamy tej własności tylko dla określonej kolejności czynników, otrzymujemy ideał prawo- lub lewostronny.
Zbiór generatorów grupy – w
teorii grup podzbiór, który nie zawiera się w żadnej
podgrupie właściwej danej
grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to podzbiór grupy, którego każdy element można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich
elementów odwrotnych.
Monoid -
półgrupa, której działanie ma
element neutralny. Formalnie, monoid to
algebra (S,e, * ), sygnatury (0,2), gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiast
Grupa pełna – w
teorii grup grupa, której każdy
automorfizm jest
wewnętrzny, a jej
centrum jest
trywialne. Istnieje zatem naturalny izomorfizm między grupą a jej
grupą automorfizmów, w którym każdy element grupy daje automorfizm wyznaczony przez niego.
Potęgowanie –
działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego
mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w
indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.
Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – w
teorii grup, dla ustalonej
liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do
izomorfizmu)
grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka
Heinza Prüfera.
Komutator – w
matematyce wskaźnik stopnia
nieprzemienności pewnego
działania dwuargumentowego. Definicje w
teorii grup oraz
teorii pierścieni różnią się między sobą.
Grupa monstrum – w
teorii grup grupa, która zgodnie z
klasyfikacją skończonych grup prostych jest największą z tzw. sporadycznych
grup prostych (nie należących do żadnej ze zdefiniowanych nieskończonych rodzin grup).
Warstwa – w
teorii grup podzbiór danej
grupy wyznaczony przez jeden z jej elementów i ustaloną jej
podgrupę. Definiuje się warstwy lewostronne i warstwy prawostronne, a terminu warstwa używa się tylko wtedy, gdy warstwy jednostronne wyznaczane przez jeden element pokrywają się. Warstwy są
zbiorami rozłącznymi, w
sumie dającymi całą grupę, dlatego zbiór warstw jest
rozbiciem zbioru jej elementów. Indeksem grupy względem jej podgrupy nazywa się ilość warstw podgrupy w grupie (ilości warstw lewostronnych i prawostronnych są sobie równe).
Element regularny
półgrupy to element, który posiada (uogólnioną) odwrotność. Podzbiór półgrupy nazywamy podzbiorem regularnym, jeżeli każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.
Iloczyny (produkty) grup – w
teorii grup są to sposoby budowania nowych
grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda
grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym
grup cyklicznych.
Element odwracalny – w
algebrze dla danego (wewnętrznego)
działania dwuargumentowego określonego w pewnej
strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego
odwrotny względem tego działania.
Element regularny
półgrupy to element, który posiada (uogólnioną) odwrotność. Podzbiór półgrupy nazywamy podzbiorem regularnym, jeżeli każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.